(problem solving) integration by parts and by substitution

Posted Apr 27, 2024

By 고준환 J.K

7 min read

🙅‍♂️휴대폰으로 볼 때 혹시 글자나 숫자가 화면에 다 안나오면, 휴대폰 가로로 돌리시면 됩니다

  
<목차>

1. integration by parts (부분적분)
2. 특수공식 & integration by substitution (치환적분)
3. 예제
 3-1. 부정적분(4개)
 3-2. 특수공식 적분 (5개)
 3-3. 치환 적분 (3개)

1. integration by parts (부분적분)

-------------------------------------------
(1) $\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)dx$
(2) 적분 우선순위도 (지수가 제일 크니까 1순위):
매우 중요!!! 지수 > 삼각 > 다항함수 > 로그
-------------------------------------------

(1)번 증명
$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
이것은 함성함수의 미분공식이다. 식의 위치를 아래처럼 바꿔보자

$f(x)g'(x) = \{f(x)g(x)\}'-f'(x)g(x)$
이제 여기서 양변 적분하자
$\color{red}{\therefore}$ $\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$

🤫참! 부분적분 공식에서 f(x)랑 g’(x) 2개에서 위의 적분 우선순위를 참고해서 정하자

ex) 로그함수의 적분

$\int lnx dx=x lnx-x+C$
위의 식은 이식과 같다 $\int 1 \cdot lnx dx$
자 그럼 위의 우선순위를 참고하여 1을 다항함수로 보고 lnx를 로그함수로 인식하자
$\int 1 \cdot lnx dx = x \cdot lnx - \int x \frac{1}{x} dx \\ \quad\quad\quad\quad\quad = xlnx-x+C$

중요! $\color{red}{\Rightarrow}$ 다항함수가 제곱이면 부분적분을 2회, 세제곱이면 3회 하라는 뜻
ex-1) $\int x \left(lnx\right)^2dx$ ex-2) $\int x \left(lnx\right)^3dx$

2. 특수공식 & integration by substitution (치환적분)

😎특수공식

case 1) 다항함수 x 지수함수
case 2) 다항함수 x 삼각함수 (역삼각함수 안됨)

부분적분공식을 적용하지말고 이순서로 하면 된다.
(왜냐하면 부분적분 2번 넘어가면 오래걸리니까)

-------------------특수공식------------------
$\int (\clubsuit \cdot \Delta)dx = 그\cdot적-미\cdot적+미\cdot적-미\cdot적 \cdots\cdots$
--------------------------------------------------

즉 위의 적분 우선순위도를 참고하여 미분 가능할 떄까지 하면 된다

$\color{red}{ex)}$ $\int x^3 sinx dx$

특수 공식을 적용하여 적분 우선순위는 삼각함수인 것을 알 수 있네
$= x^3(-cosx)-3x^2(-sinx)+6x(cosx)-6(sinx)+C$
$\color{red}{\Rightarrow}$ $-x^3cosx+3x^2sinx+6xcosx-6sinx+C$

🧑‍🔧치환적분

$\int x(lnx)^2 dx$ 이 식은 특수공식에 해당이 안된다.
그런데 특수공식을 적용시킬 방법이 있다
바로 치환이다

$lnx = u$
$x = e^u$ (밑이 e니까)
자 그리고 $lnx=u$ 에서 양변에 미분을 하면?
$\color{red}{\Rightarrow}$ $\frac{1}{x}dx=du \rightarrow dx=xdu \\ \therefore dx= e^udu$

또 적분 우선순위에 기반하여 이 특수공식을 적용하자
$\int (\clubsuit \cdot \Delta)dx = 그\cdot적-미\cdot적+미\cdot적-미\cdot적$

$\int u^2e^{2u}du$ $\color{red}{=}$ $u^2\cdot \left( \frac{1}{2}e^{2u} \right) - 2u\cdot \left( \frac{1}{4}e^{2u} \right) + 2\cdot \left( \frac{1}{8}e^{2u} \right) +C$
아까 치환했던 것 다시 대입하자
$\color{red}{\therefore}$ $\frac{1}{2}x^2\left(lnx\right)^2-\frac{1}{2}x^2\left(lnx\right) + \frac{1}{4}x^2+C$

3. 예제

3-1. 부정적분(4개)

(1) $\int x lnx dx$

sol-(1):
$=\frac{1}{2}x^2 lnx-\int\frac{1}{2}x^{2}\frac{1}{x}dx$
$\color{blue}{약분 \rightarrow}$ $=\frac{1}{2}x^2 lnx-\int\frac{1}{2}x\cdot dx$
$\color{red}{\therefore}$ $\frac{1}{2}x^2 lnx-\frac{1}{4}x^2+C$

(2) $\int x^3 lnx dx$

sol-(2):
$=\frac{1}{4}x^4 lnx-\int\frac{1}{4}x^{4}\frac{1}{x}dx$
$\color{blue}{약분 \rightarrow}$ $=\frac{1}{4}x^4 lnx-\int\frac{1}{4}x^{3}dx$
$\color{red}{\therefore}$ $\frac{1}{4}x^4 lnx-\frac{1}{16}x^4+C$

(3) $\int ln(x+x^2)dx$

sol-(3):
이거랑 사실 같은 말이다 $\int 1\cdot ln(x+x^2)dx$

이어서 전개하면 아래와 같다
$= x \cdot ln(x+x^2)-\int x \cdot\frac{1+2x}{x+x^2}dx$

$\color{blue}{약분 \rightarrow}$ $= x \cdot ln(x+x^2)-\int \left( \frac{-1}{1+x}+2\right) dx \\ \color{red}{\therefore} xln(x+x^2)+ln \vert 1+x\vert-2x+C$

🎲(추가 문제) 자 그럼 이식을 다시 미분하려면 어떻게 해야하냐?
우선 $xln(x+x^2)$ 이 부분에 함성함수 미분공식을 적용하고 나머지는 그냥 미분한다
$=ln(x+x^2) + x\cdot\frac{1+2x}{x+x^2}+\frac{1}{1+x}-2$
$\color{blue}{약분 \rightarrow}$ $=ln(x+x^2) + \frac{2+2x}{1+x}-2$
$\color{red}{\therefore}$ $ln(x+x^2)$

(4) $\int x \left(lnx\right)^2dx$ (부분적분을 연속 2회 사용해야하는 경우)

sol-(4):

이건 다항함수 x 로그함수네 (위에 적분 우선순위 참고)
$=\frac{1}{2}x^2\cdot\left(lnx\right)^2-\int \frac{1}{2}x^{2} 2\left(lnx\right)\frac{1}{x}dx$
$\color{blue}{약분 \rightarrow}$ $=\frac{1}{2}x^2\cdot\left(lnx\right)^2-\int x\cdot lnxdx$
$=\frac{1}{2}x^2\cdot\left(lnx\right)^2- \{ \frac{1}{2}x^2 \cdot lnx-\int\frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{x}dx\}$
$\color{red}{\therefore}$ $\frac{1}{2}x^2\cdot\left(lnx\right)^2-\frac{1}{2}x^2lnx+\frac{1}{4}x^2+C$

3-2. 특수공식 적분 (5개)

(5) $\int x^2 cosx dx$

sol-(5):
$=x^2sinx-2x(-cosx)+2(-sinx)+C$
$\color{red}{\therefore}$ $x^2sinx+2x\cdot cosx-2sinx+C$

(6) $\int x\cdot sec^2x\cdot dx$

sol-(6):
$=x\cdot tanx-\int tanx\cdot dx$
$🍭sec^2x$를 적분할 때, 왜 $tanx$ 이게 되는지 모르겠으면 클릭 $\color{red}{\Rightarrow}$ 반갑곰 ʕ ·ᴥ·ʔ
잠깐!! $\int tanx\cdot dx = \int\frac{sin}{cos}dx = -ln\vert cosx\vert+C$

위를 참고하여 작성하겠다
$=x\cdot tanx-1\left(-ln\vert cosx\vert\right)+C$
$\color{red}{\therefore}$ $xtanx+\ln\vert cosx\vert+C$

(7) $\int4x\cdot sec^2 2x\cdot dx$

sol-(7):
잠깐 참고하자 $\int tan2x\cdot dx= \int\frac{tan2x}{cos2x}=-\frac{1}{2}\vert cos2x\vert+C$

$=4x\left(\frac{1}{2}tan2x\right)-4\left(-\frac{1}{4}ln\vert cos2x\vert\right)+C$
$\color{red}{\therefore}$ $2x\cdot tan2x+ln\vert cos2x\vert+C$

(8) $\int x^4e^{-x}\cdot dx$

sol-(8):
$=x^4\left(-e^{-x}\right)-4x^3\left(e^{-x}\right)+12x^2\left(-e^{-x}\right)-24x\left(e^{-x}\right)+24\left(-e^{-x}\right)+C$ $\color{red}{\therefore}$ $e^{-x}\left(-x^4-4x^3-12x^2-24x-24\right)$

(9) $\int \theta^2sin2\theta \cdot d\theta$

sol-(9):
key1: 지수 > 삼각 > 다항함수 > 로그
key2: 특수공식
$\color{red}{\therefore}$ $-\frac{1}{2}\theta^2cos2\theta+\frac{1}{2}\theta\cdot sin2\theta+\frac{1}{4}cos2\theta+C$

3-3. 치환 적분 (3개)

(10) $\int x\cdot sec^{-1}x\cdot dx$ (단, x>0)

sol-(10):
참고1: $\left(sec^{-1}x\right)' = \frac{1}{\vert x\vert \sqrt{x^2-1}}$
참고2: $\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}+C$

$\int x\cdot sec^{-1}x\cdot dx$ $\color{red}{=}$ $\frac{1}{2}x^2sec^{-1}x-\int\frac{1}{2}x^2\cdot \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}}dx$ 여기서 약분 가능
$\color{red}{=}$ $\frac{1}{2}x^2sec^{-1}x-\int\frac{1}{2}x\frac{1}{ \sqrt{x^2-1}}dx$
자 여기서 치환하자
$x^2-1=u$
$\color{red}{\Rightarrow}$ $2xdx=du$
$\color{red}{\therefore}$ $xdx=\frac{1}{2}du$

치환한 요소로 이어서 다시 전개하자

$\color{red}{=}$ $\frac{1}{2}x^2sec^{-1}x-\frac{1}{4} \int\frac{1}{\sqrt{u}}du$
$\color{red}{=}$ $\frac{1}{2}x^2sec^{-1}x-\frac{1}{4} {2\sqrt{u}}+C$
$\color{red}{\therefore}$ $\frac{1}{2}x^2sec^{-1}x-\frac{1}{2} {\sqrt{x^2-1}}+C$

(11) $\int^1_0 x^3e^{x^2}dx$ 의 값은?

sol-(11):
-----------치환하자----------
$x^2=u$
$2x\cdot dx=du$
$x\cdot dx=\frac{1}{2}du$
------------------------------

치환 전에 식을 이렇게도 바꿀 수 있지 않을까?
$\int^1_0 x^2 e^{x^2}x\cdot dx$
그리고 x에 1,0을 넣으면 u의 범위가 각각 1,0 이 나오네
이어서 전개 (특수공식 활용)
$\color{red}{=}$ $\int^1_0 u e^{u}\cdot \frac{1}{2}du$ $\color{red}{\Rightarrow}$ $\frac{1}{2}\left[ue^u-1\cdot e^u\right]^1_0$
$\color{red}{=}$ $\frac{1}{2}\left[(e-e)-(0-1)\right]$
$\color{red}{\therefore}$ $\frac{1}{2}$

(12) $\int^4_0 cos\sqrt{x}\cdot dx$의 값은?

sol-(12):
-----------치환하자----------
$\sqrt{x}=u$
$x=u^2$
$dx=2u\cdot du$
------------------------------

x에 4, 0 각각 대입하면 u의 범위는 2,0이 나온다
$\color{red}{=}$ $\int^2_0 2u\cdot cosu\cdot du = \left[2u\cdot sinu-2(-cosu)\right]^2_0$
$\color{red}{\therefore}$ $4sin2+2cos2-2$

참고

math, calculus

This post is licensed under CC BY 4.0 by the author.

(problem solving) integration by parts and by substitution

🙅‍♂️휴대폰으로 볼 때 혹시 글자나 숫자가 화면에 다 안나오면, 휴대폰 가로로 돌리시면 됩니다

1. integration by parts (부분적분)

ex) 로그함수의 적분

2. 특수공식 & integration by substitution (치환적분)

😎특수공식

\(\color{red}{ex)}\) \(\int x^3 sinx dx\)

🧑‍🔧치환적분

3. 예제

3-1. 부정적분(4개)

(1) \(\int x lnx dx\)

(2) \(\int x^3 lnx dx\)

(3) \(\int ln(x+x^2)dx\)

(4) \(\int x \left(lnx\right)^2dx\) (부분적분을 연속 2회 사용해야하는 경우)

3-2. 특수공식 적분 (5개)

(5) \(\int x^2 cosx dx\)

(6) \(\int x\cdot sec^2x\cdot dx\)

(7) \(\int4x\cdot sec^2 2x\cdot dx\)

(8) \(\int x^4e^{-x}\cdot dx\)

(9) \(\int \theta^2sin2\theta \cdot d\theta\)

3-3. 치환 적분 (3개)

(10) \(\int x\cdot sec^{-1}x\cdot dx\) (단, x>0)

(11) \(\int^1_0 x^3e^{x^2}dx\) 의 값은?

(12) \(\int^4_0 cos\sqrt{x}\cdot dx\)의 값은?

참고

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