Eigen Decomposition
๐ โโ๏ธํด๋ํฐ์ผ๋ก ๋ณผ ๋ ํน์ ๊ธ์๋ ์ซ์๊ฐ ํ๋ฉด์ ๋ค ์๋์ค๋ฉด, ํด๋ํฐ ๊ฐ๋ก๋ก ๋๋ฆฌ์๋ฉด ๋ฉ๋๋ค
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0. ๋ค์ด๊ฐ๋ฉฐ
1. Eigen decomposition (long provement)
1-1. Eigen decomposition to diagonalization
1-2. Eigen decomposition ์ฅ์ (5๊ฐ) & ๊ฟํ(3๊ฐ)
2. feature of symmetric matrix
2-1. ํํ
2-2. ์ค์ํ ์์ฉ
2-3. ์๋ก์ด ํด์
3. ๋๊ฐํ ํ๋ณ๋ฒ
โ
๋๊ฐํ ๊ฐ๋ฅ, ๋ถ๊ฐ๋ฅ ์ฌ๋ก
3-1 ์ค๋ณต๋
3-2 ๋ฎ์ ๋ถ๋ณ๋
4. ์ผ์ผ๋ฆฌ-ํด๋ฐํด ์ ๋ฆฌ
5. ์ฐ์ต๋ฌธ์ (3๊ฐ) ๊ณ ์ ๊ฐ,๊ณ ์ ๋ฒกํฐ 2๊ฐ, ์ผ์ผ๋ฆฌํด๋ฐํด 1๊ฐ
0. ๋ค์ด๊ฐ๋ฉฐ
์ฐ์ ์์ฝ๋ณธ์ธ๋ฐ ์ ์ ํ์ด๋ณด๊ณ ์ง๋๊ฐ๋ ๊ฒ๋ ๋์์ง ์์ ๊ฒ ๊ฐ์ต๋๋ค.
EVD ์ฆ ๊ณ ์ณ๊ฐ ๋ถํด๋ฅผ ์ํ ์์ ์๋์ ๊ฐ์ด ๋ํ๋ผ ์ ์์ต๋๋ค.
ํ๋ ฌAx๊ฐ ์์ ๋
Ax=ฮป1q1qT1x+ฮป2q2qT2x+โฏ+ฮปnqnqTnx
์ฌ๊ธฐ์ dim reduction์ ํ์ฌ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ 2๊ฐ๋ง ์ฌ์ฉํ ์
Axโฮป1q1qT1x+ฮป2q2qT2x ์๋ฌดํผ ์๋ก ์ด ์ข ๊ธธ์๋๋ฐ ๊ฑฐ๋์ ๋ฏธํ๊ณ ,
์ด๋ฒ ๊ธ์์์ ์ฃผ์ ๋ด์ฉ์ธ ํ๋ ฌ์ ๊ณ ์ณ๊ฐ๊ณผ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ๋ก ๋ถํดํ๋ ๊ณผ์ ์ธ Eigenvalue Decomposition(๊ณ ์ณ๊ฐ ๋ถํด)์ ๋ํ ๋ด์ฉ๊ณผ, symmetric matrix์ ์ค์ํ ์์ฉ ๋ฐ ์๋ก์ด ํด์์ ๊ดํด ์์๋ณผ ๊ฒ์
๋๋ค
1. Eigen decomposition (long provement)
โโโโโโโ ๋ป โโโโโโโ-
characteristic equation(๊ณ ์ ๋ฐฉ์ ์)
det(ฮณInโM) โ ๊ณ ์ ๊ฐ, ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ๋ฅผ ์ฐพ๋ ๊ณผ์
diagonalization
A=VฮณVโ1
โโโโโโโโโโโโโโ-
1-1. Eigen decomposition to diagonalization
A2โ2 ๊ฐ ์๋ค๊ณ ํ์ ์ด๋
eigen value (2๊ฐ) ฮณ1,ฮณ2
eigen vector(๋ฌด์กฐ๊ฑด independant) 2๊ฐ v1, v2
๊ทธ๋ฌ๋ฉด ์์ฐ์ค๋ฝ๊ฒ Av1=ฮณ1v1, Av2=ฮณ2v2 ๊ฐ ๋๋ค
์ฌ๊ธฐ์ 2๊ฐ์ ์์์ ํ๋๋ก ํฉ์ณ๋ณด์
A[v1, v2]=[ฮณ1v1, ฮณ2v2]
์ค ์ด์์ ์ด๋ ๊ฒ ๋ฐ๊ฟ ์๋ ์๊ตฐ
=[v1, v2][ฮณ100ฮณ2]
์ ์ด์์์ [v1, v2]๋ v๋ง ๋ชจ์๋์ ๊ฒ์ด๋ ํ๋ ฌV๋ผ ํ์
V=[v1, v2], ๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง๋ก ฮณ=[ฮณ100ฮณ2]
์ด ๊ทธ๋ฌ๋ฉด ์์ ์ด๋ ๊ฒ๋ ๋ฐ๊ฟ ์ ์๊ฒ ๋ค โAV=Vฮณ
๊ทธ๋ด ๋, v1, v2๋ independantํ vector๋ก ์ผ์ผ๋ ๊ทธ๋ผ ์ด๊ฑด ์๋ rank๊ฐ 2 by 2์ธ ํ๋ ฌ์ธ๋ฐ๋ 2๊ฐ๋ค
์ฆ invertableํ๋ค why? (detโ 0 ์ด๋๊น ์ญํ๋ ฌ ์กด์ฌํด์)
๊ทธ๋์ ์ด๋ ๊ฒ ์์ ๋ฐ๊ฟ ์ ์๋ค โA=VฮณVโ1
๐ค๋ง์ฝ์ ์ฌ๊ธฐ์ ์์ ์ด๋ ๊ฒ ๋ฐ๊พธ๋ฉด? โVโ1AV=ฮณ
๋น์ฐํ! ฮณ๋ diagonal matrix๋๊น eigen decomposition์ด ๋๋ A๋ฅผ โdiagonalizableํ๋คโ๋ผ๊ณ ํ๋ค
๋ค์ ๋งํด
Anโnโdiagonalizable โ independant Eigen vector๊ฐ n๊ฐ๋ค
โโโโโโโ ๋ป โโโโโโโ-
n by n์ Aํ๋ ฌ์ด diagonalizableํ๋ฉด independant Eigen vector๊ฐ n๊ฐ๋ผ๋ ๊ฒ๊ณผ ๋์น๋ค
โโโโโโโโโโโโโโ-
1-2. Eigen decomposition ์ฅ์ (5๊ฐ) & ๊ฟํ(3๊ฐ)
๐คตโโ๏ธ์ฅ์
(1) Ak ex) A3=VฮณVโ1 โ Vโ1ฮณV โ VฮณVโ1 = Vฮณ3Vโ1
----------------sol-(1)-------------------
ฮณk๋[ฮณk00ฮณk] ์ธ๋ฐ ์ ๊ณฑ, ์ธ์ ๊ณฑ, ๋ค์ ๊ณฑโฆ์ ฮณ ๊ฐ๋ง ๋ฐ๊ฟ์ฃผ๋ฉด ๋์ด ๊ณ์ฐ์ด ํธํ๋ค
-------------------------------------------
(2) Aโ1= (VฮณVโ1)โ1=Vฮณโ1Vโ1
----------------sol-(2)-------------------
[ฮณ100ฮณ2]โ1=[1ฮณ1001ฮณ2]
์ ์ฌ๊ธฐ์ Aโ1A ํ์ธํ์ โ Vฮณโ1Vโ1 โ
VฮณVโ1 ํ๋ฉด ๋ฐ๋ก ํญ๋ฑํ๋ ฌI๊ฐ ๋๋ค
๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง๋ก ์์น๋ฅผ ๋ฐ๊ฟ AAโ1 ํด๋ ํญ๋ฑํ๋ ฌI ๋์ด
-------------------------------------------
(3) det(A)= det(VฮณVโ1)=det(V)det(ฮณ)det(Vโ1)โdet(ฮณ)=ฮณ1โ ฮณ2โฏ=โni=1ฮณi
(4) tr(A)=(VฮณVโ1)
----------------sol-(4)-------------------
์ฐธ๊ณ :
trace: ์ ๋ฐฉํ๋ ฌ์ ๋๊ฐ์ฑ๋ถ์ ํฉ ex) A=[1004]tr(A)=1+4=5
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ tr(ABC)= tr(BCA)=tr(CBA)
์ ์ด๊ฒ ์์น๋ฅผ ๋ฐ๊ฟ๋ ๊ฐ๋ค๋ ์ฑ์ง์ ์ด์ฉํ์ฌ
tr(VฮณVโ1)=tr(ฮณVโ1V)=tr(ฮณ)
โฮณ1+ฮณ2+โฏโด
-------------------------------------------
(5) rank-difficient \color{red}{\Leftrightarrow} det(A)=0 \color{red}{\Leftrightarrow} 0 ์ธ eigen value๊ฐ 1๊ฐ ์ด์ ์กด์ฌ
----------------ํด์-(5)-------------------
rank-dificient๋ det=0์ธ ๊ฒ๊ณผ ๋์น์ธ๋ฐ det๋ \gamma ๋ฅผ ์น ๊ณฑํ ๊ฒ์ด๋ ๊ทธ๋ง์ ์ฆ์จ
0์ธ eigen value๊ฐ 1๊ฐ ์ด์ ์กด์ฌํ๋ค๋ ๋ป
-------------------------------------------
๐ฏ๊ฟํ
(1) A^T์ Eigen value \color{red}{=} A์ Eigen value
----------------sol-(1)-------------------
why? \Rightarrow det(A-\gamma I) = det(A-\gamma I)^{T}
์๋ํ๋ฉด det(A) = det(A)^T ๋ผ์
\therefore det(A-\gamma I) = det(A^T-\gamma I)
-------------------------------------------
(2) A๊ฐ orghogonal matrix๋ฉด \gamma_i = \pm 1 ์ด๋ค
----------------sol-(2)-------------------
์ฐ์ orthogonal matrix๋ฅผ Q๋ก ๋์ ๋นจ๋นจ๋นจ๋นจ๊ฐ, ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ๊ฑฐ๊ธฐ์ ํ๋ ฌ v๋ฅผ ํต๊ณผ์ํค์
QV=\gamma V
\left(Qv\right)^{T}Qv= V^TQ^TQV=V^TV= \parallel V \parallel_2^2
์ด? ์ฌ๊ธฐ์ \left(\gamma V\right)^{T}\gamma V ์ด๋ ๊ฒ ๊ณ ์น ์๋ ์๋๋ฐ ๊ทธ๋ฌ๋ฉด \color{red}{\therefore} \gamma^2\parallel V \parallel_2^2
-------------------------------------------
(3) A๊ฐ positive semi-difinite(P.S.D)๋ฉด \color{red}{\Leftrightarrow} \quad \gamma_i \ge 0
----------------sol-(3)-------------------
(์ด๋ A= A^T\color{red}{,} \quad ์ฆ symmetric matrix)
๊ทธ๋์ ๋ PSD??? โฌ๏ธ
z^TAz \ge 0 ์ด๊ณ ์ด๊ฒ์ z๋ฅผ ์ ํ๋ณํํ ๊ฒ์ธ๋ฐ z์ ๋ด์ ํ์ ๋ ์์๊ฐ ๋๋ค๋ ๊ฒ์
์ ํ๋ณํ์ ๊ฑฐ์ณ๋ ์ง๊ตํ๋ ํ๋ฉด ๋ค์ชฝ์ผ๋ก ์ํ์ด๋๊ฐ๋ค๋ ๋ง์ด๋ค
(์ฆ ์ด๋ค ๋ฒกํฐ๋ฅผ ํต๊ณผ์ํค๋๋ผ๋ ์๋ ๊ทธ๋ฆผ์ฒ๋ผ๋ง ๋ฐ๋๋ค)
๋ด์ ํ์ ๋ ์์๊ฐ ๋๋ 90^{\circ} ๋ฐฉํฅ์ ๋์ด๊ฐ์ง ์๋๋ค
์ด์ด์ ์์ ๋ฐ๊ฟ๋ณด์
Az=\gamma z ๋ก ๋๋ฉด z^T \gamma z \ge 0 ๋๋ค \color{red}{\Rightarrow} \quad \vert\vert z\vert\vert_2^2 \gamma\ge 0
\color{red}{\therefore} ์ \vert\vert z\vert\vert_2^2๊ฐ ์์๋ \gamma๋ ๋ฌด์กฐ๊ฑด ์์์ด๊ฒ ๋๋ค
-------------------------------------------
(4) โญ(ํต์ค์) Diagonalizable matrix A์ non-zero eigen value์ ์ = rank(A)
----------------sol-(4)-------------------
----------------์ฐธ๊ณ :-----------------
(diagonalizable Matrix ๋ผ๊ณ ๋ฐ๋์ symmetric์ ์๋๋ค)
-----------------------------------
A = V \gamma V^{-1} = rank(\gamma)
case 1):
\begin{bmatrix} \gamma_1 & & \\ & \gamma_2 & \\ && 0\end{bmatrix}
์ด๊ฒ์ 0์ด ์์ผ๋ ๋งํ์ rank2
case 2):
\begin{bmatrix} \gamma_1 && \\ & \gamma_2 & \\ && \gamma_3 \\ &&& \ddots \end{bmatrix}
0์ด ๋์ค๊ธฐ ์ ๊น์ง rank ๊ณ์ ๊ฐฏ์ ์
-------------------------------------------
2. feature of symmetric matrix
2-1. ํํ
if A=A^T then, symmetric matrix is diagonalizable
--------------------sol----------------------
A = V \gamma V^{-1}
A^T = V^{-T}\gamma V^{T} ์ด ๋๋ค. ๊ทธ๋ผ ์์ฐ์ค๋ฝ๊ฒ V=V^{-T}\color{red}{,} \quad\quad V^{-1}=V^T ์ผ๋ก
๋ง์กฑํ๋๋ก(orthogonal matrix ์ด๋๋ก) V๋ฅผ ์ค์ ํ ์ ์๋ค
์ฌ๊ธฐ๊น์ง ํ์ธํ์ผ๋ฉด orthogonal Matrix๋ ๋ณดํต Q๋ก ํ๊ธฐํ๋ ๋ค์ A=Q\gamma Q^T ๋ก ๋ฐ๊ฟ์ ์
๐ก์ฆ symmetric matrix๋ diagonalizableํ๋ฉฐ A=Q\gamma Q^T ๊ฐ ๋๋ค
----------------------------------------------
2-2. ์ค์ํ ์์ฉ
Q๊ฐ ๊ฐ์ง๋ ์ปฌ๋ผ์ ํตํด Q\gamma Q^T๋ฅผ ํํํด๋ณด์
(Q๋ 3x1, Q^T ๋ 1x3์ด๋ค)
A=\begin{bmatrix} q_1 & q_2 & q_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1 & & \\ & \gamma_2 & \\ && \gamma_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ q_3^T\end{bmatrix}
์ด? q_1 \perp q_1^T\color{red}{,} \quad q_2 \perp q_2^T\color{red}{,} \quad q_3 \perp q_3^T๋ก๊ตฐ
=\begin{bmatrix} \gamma_1q_1 & \gamma_1q_2 & \gamma_1q_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ q_3^T \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \gamma_1q_1q_1^T+\gamma_2q_2q_2^T+\gamma_3q_3q_3^T
์ค! ์ด๊ฑฐ q_1q_1^T ๋ ์์ฐ์ค๋ฝ๊ฒ Rank1 Matrix๋๊น ํ๋ ฌ์ slice๋ก ์ชผ๊ฐ ๊ฑฐ๋ค
์ ์ด๊ฑฐ 100ํผ ๋ฐ์ดํฐ ์์ถ์ ์์ฉ๊ฐ๋ฅํ๋ค
ex) ์ฌ์ง W๊ฐ 100x100 ์ด๋ผ ํ๋ฉด 10000๊ฐ์ ์ซ์๊ฐ ํ์ํ๋ค.
์ด๊ฑธ ์ชผ๊ฐ์ 5๊ฐ๋ง ์ฐ์ \gamma_1q_1q_1^T+\gamma_2q_2q_2^T+ \cdots \gamma_{10000}q_{10000}q_{10000}^T
๊ทธ๋ผ \gamma์ ๋ํด 5๊ฐ๊ฐ ํ์ํ๊ณ q๊ฐ 100x1์ด๋๊น ์ด 5๊ฐ ์์ด์ 500
๊ทธ๋์ ํฉํ๋ฉด 505๊ฐ๋ค
\color{red}{\therefore} ์ฆ 10000๊ฐ ์ค์์ 505๊ฐ๋ฅผ ์ด๋ค๋ ๊ฑด๋ฐ ์ ๋ช
ํ์ง ์๊ณ ํ์ง์ด ๋งค์ฐ ๊ตฌ๋ฆฌ์ง๋ง ์ธ์์ ๋ ๊ฒ์ด๋ค
2-3. ์๋ก์ด ํด์
--------------------cond(์กฐ๊ฑด)----------------------
A=A^T๋ฉด A=\gamma_1q_1q_1^T+\gamma_2q_2q_2^T+\gamma_3q_3q_3^T
(A: 3x3ํ๋ ฌ์ด๊ณ , q_1 \perp q_2 \perp q_3)
---------------------------------------------------------
์ฌ๊ธฐ์ x๋ผ๋ Eigen vector๊ฐ ์๋ ์์์ ๋ฒกํฐ๋ฅผ ํ๋ ฌA์ ํต๊ณผ์์ผ decomposeํ ์ํ๋ก ๋ค์ฌ๋ณด์
์ด? q_1^Tx \quad\quad q_2^Tx \quad\quad q_3^Tx ๋ ๊ฐ๊ฐ x๋ ๋ด์ ํ๊ฑฐ๋ค??
๊ทธ๋ฌ๋ฉด q_1 \quad\quad q_2 \quad\quad q_3 ๋ ๊ฐ๊ฐ ๋ฐฉํฅ๋ฒกํฐ๋ค
๊ทธ๋ ๋ค๋ฉด q_1q_1^Tx \quad\quad q_2q_2^Tx \quad\quad q_3q_3^Tx ๋ ๊ฐ๊ฐ projection์ด๋ค ??
๐๏ธ๊ทธ๋ฆผ ์์
x๋ผ๋ ๋ฒกํฐ๊ฐ ์์ ๋ ์ง๊ตํ๋ q_1 \quad\quad q_2 \quad\quad q_3๊ฐ ์๋ค ํ์
\color{lightgreen}{/}์ ๋ค์ ์๋๋ก ๋ด๋ฆฌ๋ฉด \color{purple}{\nearrow}๋ฒกํฐ๋ค์ด ๋์๋ ๊ฒ์ด๋ค
3. ๋๊ฐํ ํ๋ณ๋ฒ
ํ๋ณ๋ฒ์ ๋ณด๊ธฐ์ ์ฐ์ ๋๊ฐํ ๋ถ๊ฐ๋ฅ์ฌ๋ก์ ๊ฐ๋ฅํ ์ฌ๋ก๋ฅผ ๋จผ์ ๋ณด๊ณ ์ ํ๋ค
์์ ใฑ) ๋๊ฐํ ๋ถ๊ฐ๋ฅ ์ฌ๋ก
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} ๋ ๋๊ฐํ ๊ฐ๋ฅํ๊ฐ?
*์์ ํ๋ ฌ A๊ฐ ๋๊ฐํ๊ฐ ๊ฐ๋ฅํ๋ ค๋ฉด ์ ํ๋
๋ฆฝ์ธ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ๊ฐ 2๊ฐ๊ฐ ๋์์ผํจ
1๏ธโฃ๊ณ ์ณ๊ฐ ๊ตฌํ๊ธฐ
๊ณ ์ ๋ฐฉ์ ์ \color{red}{\Rightarrow} det(\gamma I_2 - A)= det \begin{pmatrix} \gamma-2 & -1 \\ 0 & \gamma-2 \end{pmatrix} = (\gamma-2)^2 = 0 \\ \Leftrightarrow \gamma =2(์ค๊ทผ)
2๏ธโฃ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ ๊ตฌํ๊ธฐ
(2I_2 - A)v = 0 \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
์ฌ๊ธฐ์ v๋ free variables์ธ s
ํ๋ ์ก๊ณ (1,0)์ ํ๋ (-1,0)์ ํ๋ ์๊ด์๋๋ฐ,
(1,0)์ผ๋ก ์ ํํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
\color{red}{\Rightarrow} ์ฆ v = s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ์ผ๋ก ๋๊ฐํ ๋ถ๊ฐ๋ฅ
์? โ> ๊ณ ์ ๊ธฐ์ = {(1,0)} 1๊ฐ๋ผ์ ์๋๋ค!
์๋ํ๋ฉด ์ ํ๋
๋ฆฝ์ธ๊ฒ 2๊ฐ๊ฐ ์กํ๋ ค๋ฉด ๊ณ ์ ๊ธฐ์ ๊ฐ 2๊ฐ๊ฐ ํ์
(ํ๋ ฌ์ n x n)์์ ํ or ์ด๊ฐฏ์๋ ๋งค์น๋ ๊ฒ
์์ ใด) ๋๊ฐํ ๊ฐ๋ฅ ์ฌ๋ก
์๊น ์์ ๋ด์ฉ์ ํ ๋๋ก A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} ์ ๋ํ P ์ฐพ๊ธฐ
์ด๊ฑด ๋๋ค ์๋ํ๋ฉด \gamma(๊ณ ์ณ๊ฐ) =-1 ์ผ ๋,
\rightarrow ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ (s,s)
\rightarrow P_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ์ผ ๋, \rightarrow ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ (2t,3t)
\gamma(๊ณ ์ณ๊ฐ) = -2 ์ผ ๋
\rightarrow P_2\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}
์ฆ P = P_1 P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \\ P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ P^{-1} A P = B
์ฐธ! P_2 P_1 ๋ก ์์น๋ฅผ ๋ฐ๊ฟ ์ด๋ฒกํฐ๋ค์ ๋์ดํ์ฌ ๊ณ์ฐํด๋ ๋๊ฐํ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค!
3-1 ์ค๋ณต๋
๋๊ฐํ๊ฐ ๊ฐ๋ฅํ์ง ํ๋ณํ๋ ๋ ๋ค๋ฅธ ๋ฐฉ๋ฒ์
๋๋ค
๊ธฐํ์ ์ค๋ณต๋
, ๋์์ ์ค๋ณต๋
๋ฅผ ๋น๊ตํ์ฌ ๊ตฌํ ์ ์์ต๋๋ค
์ผ๋จ ์์ฝํ๋ฉด ๊ธฐํ์ ์ค๋ณต๋ = ๋์์ ์ค๋ณต๋
์ผ ๋, ํ๋ ฌ์ ๋๊ฐํ๊ฐ ๊ฐ๋ฅ ํฉ๋๋ค
๊ธฐํ์ ์ค๋ณต๋:
๊ณ ์ ๊ฐ์ ๋์ํ๋ ๊ณ ์ ๊ณต๊ฐ์ ์ฐจ์ ๊ฐฏ์
๋์์ ์ค๋ณต๋:
๊ณ ์ ๋คํญ์์์ \gamma-\gamma_0 ๊ฐ ์ธ์๋ก ๋ํ๋๋ ํ์
(๋์์ ์ผ๋ก ๊ณ ์ ๊ฐ์ด ์ด ๋ช ๊ฑฐ๋ญ์ ๊ณฑ์ธ์ง?)
๐๊ณ ์ ๋ฒกํฐ, ๊ณ ์ ๊ธฐ์ ๋ฅผ ์ ๋ชจ๋ฅด๊ฒ ๋ค๋ฉด ์ด๊ฒ ํด๋ฆญ
3-2 ๋ฎ์ ๋ถ๋ณ๋
๋ ์ ์ฌ๊ฐํ๋ ฌ A, B์ ๋ํ์ฌ B = P^{-1}AP ๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ ๊ฐ์ญํ๋ ฌ P๊ฐ ์กด์ฌํ๋ฉด
A, B๋ ์๋ก ๋ฎ์ ํ๋ ฌ
์ด๋ผ ํ๊ณ , ๊ธฐํธ๋ก A~B
๋ผ ํํํ๋ค.
์๋ก ๋ฎ์ ๋ ํ๋ ฌ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ์ฑ์ง๋ค์ ์๋ก ์ผ์นํ๋ค.
๊ทธ ์ค์ ์ผ๋จ 10๊ฐ๋ง ๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1) ํ๋ ฌ์
(2) ๊ฐ์ญ์ฑ
(3) rank
(4) nullity
(5) ๊ณ ์ ๋คํญ์(๊ณ ์ ๋ฐฉ์ ์์ ์ข๋ณ์ ์๊ธฐํจ)
(6) ๊ณ ์ณ๊ฐ
(7) ๊ณ ์ ๊ณต๊ฐ์ ์ฐจ์
(8) ๋๊ฐ์ฑ๋ถ๋ค์ ํฉ
(9) ๋์์ ์ค๋ณต๋
(10) ๊ธฐํ์ ์ค๋ณต๋
์๋ก ๋ฎ์ ๋ณด์ด๋๋ผ๋, ์ ํ์ฌ์๋ค์ ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก ํ์
ํ๊ธฐ๊ฐ ๋ณต์กํ๋ฐ
์๋นํ ๋ง์ ์ ํ์ฌ์๋ค์ด ์ด ํน์ฑ๋ค ์ค ์ต์ ํ๊ฐ๋ผ๋ ๋ฐ๋ฅผ ํ๋ฅ ์ด ๋์ผ๋
์ ํ์ฌ์๋ค์ ๋ถํดํ์ฌ ๊ฐ์ํ๋ ์ ํ์ฌ์๋ค์๊ฒ์
์ ํน์ฑ๋ค ์ค ์ต์ 1๊ฐ ์ด์์ ์ฐพ์ ์ ์์ต๋๋ค
(์ฆ ๋ณต์กํ๊ฒ ๋ง๊ณ ์ฝ๊ฒ์ฝ๊ฒ ๋ณด์๋ ์๊น๋๋ค)
4. ์ผ์ผ๋ฆฌ-ํด๋ฐํด ์ ๋ฆฌ
์์์ ์ ์ฌ๊ฐํ๋ ฌ A๊ณผ ๊ทธ ๊ณ ์ ๋คํญ์
f(\gamma) = det(\gamma I - A) = \sum\limits_{i=0}^n a_i\gamma^2 ์ ๋ํ์ฌ
f(A) = 0 ์ด ์ฑ๋ฆฝํ๋ฉฐ, ์ด๋ฅผ ์บ์ผ๋ฆฌ-ํด๋ฐํด ์ ๋ฆฌ
๋ผ๊ณ ํ๋ค. (๋จ, 0์ ์ํ๋ ฌ)
1
์ฝ๊ฒ ๋งํ๋ฉด ๋๋ค์๋ฆฌ์ Aํ๋ ฌ์ ๋ฃ์๋๋ ์ํ๋ ฌ์ด ๋์ค๋๋ผ
์ด ๊ธ์์๋ ์์ 2๊ฐ์ง๋ฅผ ์์ฑํฉ๋๋ค
ex-1)
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \\ f(\gamma) = det(\gamma I_2 - A) \\ = det \begin{pmatrix} \gamma-1 & 2 \\ -3 & \gamma+4 \end{pmatrix}
๊ทธ๋ฌ๋ฉด \gamma (๊ณ ์ ๊ฐ)๋ ์๋์ ๊ฐ์ด ๋์ต๋๋ค
= \gamma^2 + 3\gamma + 2
์ด๊ฑธ ์๋์ฒ๋ผ ๊ณ ์น ์๋ ์์ต๋๋ค
= a_2\gamma^2 + a_1\gamma^1 + a_0\gamma^0
์ฌ๊ธฐ์ Aํ๋ ฌ์ ๋์
ํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค
f(A) = A^2 + 3A + 2I = 0 \quad ์ฑ๋ฆฝํ๋๊ฐ?
f(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}^2 + 3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}^1 + 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -9 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & -12 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0
ex-2)
ํ๋ ฌ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ์ ๋ํ์ฌ
A^3 ๋ฅผ ์ผ์ผ๋ฆฌ ํด๋ฐํด ์ ๋ฆฌ
๋ฅผ ์ด์ฉํด A์ ๋จ์ํ๋ ฌ I_2 ๋ก์จ ํํํ์์ค.
ํ์ด:
A^3 ๋ฅผ ์ด์ฉํ๋ ๊ฒ๋ณด๋จ,
A^2 ๋ฅผ ์ด์ฉํ๋๊ฒ ํธ๋๋ฐ ๋ ์ฌ์ธ ์๋ ์์ต๋๋ค.
f(\gamma) = det(\gamma I_2 - A) = det \begin{pmatrix} \gamma-1 & -2 \\ -3 & \gamma-4 \end{pmatrix} = \gamma^2 -5\gamma-2 \\ \rightarrow f(A) = A^2 -5A -2I_2 =0 \quad ์ฑ๋ฆฝํ๋๊ฐ?
\rightarrow f(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 5\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0
์ด๋ฅผ ํตํด A^2 = 5A+2I ๋ผ๋ ๊ฒ์ ํ์ธํ ์ ์์ต๋๋ค
๊ทธ๋ฌ๋ฉด ์ด์ด์ ๋ง์ ๊ณ์ฐํด๋ด
์๋ค
A^3 = 5A^2 + 2A \\ \Leftrightarrow A^3 = 5(5A + 2I_2) + 2I_2 \\ \Leftrightarrow A^3 = 27A + 12I_2
5. ์ฐ์ต๋ฌธ์ (3๊ฐ) ๊ณ ์ ๊ฐ,๊ณ ์ ๋ฒกํฐ 2๊ฐ, ์ผ์ผ๋ฆฌํด๋ฐํด 1๊ฐ
5-1 ๐์์ 1
M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix} ์ ๊ณ ์ณ๊ฐ, ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ ๊ณ ์ ๊ธฐ์ ๊ตฌํ๊ธฐ
step 1 ๊ณ ์ณ๊ฐ ๊ตฌํ๊ธฐ
(๊ณ ์ ๋ฐฉ์ ์๋ถํฐ ๊ตฌํฉ์๋ค.)
det( \gamma I_3 - M) \\ \Leftrightarrow det\begin{pmatrix} \gamma & 0 & 2 \\ -1 & \gamma - 2 & -1 \\ -1 & 0 & \gamma -3 \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow det = \gamma \begin{vmatrix} \gamma-2 & -1 \\ 0 & \gamma-3 \\ \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & \gamma-3 \\ \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} -1 & \gamma-2 \\ -1 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ \Leftrightarrow\gamma(\gamma^2-5\gamma+6) + 2(\gamma-2) = 0 \\ \Leftrightarrow(\gamma-1)(\gamma-2)^2 = 0
์ฆ ๊ณ ์ ๊ฐ: \gamma = 1 or 2
step 2๊ณ ์ ๋ฒกํฐ ๊ตฌํ๊ธฐ
case 1) \gamma = 1
\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & -2 & 0\end{pmatrix} \color{red}{\Rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \color{red}{\Rightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
์ฌ๊ธฐ์ v_1, v_2, v_3 ์ ๊ณฑํ๊ณ v_3 ์ S๋ก ๋๋ค๋ฉด Eigen value์ ํด๋ ์ด๋ ๊ฒ ๋์ฌ๊ฒ๋๋ค.
\begin{cases} v_3 = s \\ v_2 = s \\ v_1 = -2s \end{cases} \quad \rightarrow \quad ์ฆ \quad v = s\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก \gamma =1 \quad ์ผ ๋
๊ณ ์ ๋ฒกํฐ = (-2s, s, s) \quad s \neq0
๊ณ ์ ๊ธฐ์ = \{(-2,1,1)\}
case 2) \gamma = 2
(2I_3 - M)v = 0 \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & |0\\ 0 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & |0\end{pmatrix}
\begin{cases} x \quad + z = 0 \\ \quad 0y \quad\quad = 0 \\ \quad\quad 0z \quad = 0 \end{cases}
์ด๋ ๊ฒ ํ๋ฉด x์ z๋ ์์ ๋ณ์๋ก ์ ํํ ์ ์์ต๋๋ค
์ฆ, y=1์ผ ๋์ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
์ด์ด์ ํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ์ ์์ด ๋์ต๋๋ค
v = t \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
์ฌ๊ธฐ์ ๊ณ ์ ๊ธฐ์ ๋ ์๋์ ๊ฐ์ต๋๋ค
\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
๊ณ ์ ๋ฒกํฐ๋ ์๋์ ๊ฐ์ต๋๋ค
\begin{pmatrix} 0 \\ t\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -r \\ 0 \\ r \end{pmatrix}
1
2
3
4
v_2๊ฐ ์ํ๋ ฌ์ด๋ผ ๋จผ์ free variables๋ก t๋ฅผ ์ค์ ํด์ฃผ๊ณ ๋๋จธ์ง๋ฅผ r๋ก ๊ตฌํฉ๋๋ค
์ด์ฐจํผ ํด๊ณต๊ฐ์ 0์ด ๋์์ผ ํฉ๋๋ค
v_3๊ณผ v_1๋ ๊ฐ์๋ฒกํฐ๋ก ์ค๋ณต์ ์ ๊ฑฐํ ๊ฒธ v_3 + v+1 = 0์ ํตํด ํฉ์ณ์ฃผ๊ณ
์ฆ free variables 2๊ฐ๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ฌ v์ ํด๊ณต๊ฐ์ ์์ ๊ฐ์ด ๋์ต๋๋ค
free variables์ ๋ํด ์ ๋ชจ๋ฅด๊ฒ ์ผ๋ฉด ํด๋ฆญ โ> โ
๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก \gamma = 2 ์ผ๋๋
๊ณ ์ ๋ฒกํฐ: (-r, t, r)
๊ณ ์ ๊ธฐ์ : {(0,1,0), (-1,0,1)}
๊ฒฐ๋ก :
์ฆ ์ด 3x3ํ๋ ฌ M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix} ์ ๋ํด
\gamma(๊ณ ์ ๊ฐ) = 1 ์ผ๋๋
๊ณ ์ ๊ธฐ์ ๊ฐ ์์ 1๊ฐ์ธ {(-2,1,1)}
\gamma(๊ณ ์ ๊ฐ) = 2 ์ผ๋๋
๊ณ ์ ๊ธฐ์ ๊ฐ ์์ 2๊ฐ์ธ {(0,1,0), (-1,0,1)}
5-2 ์์ 2
ํ๋ ฌ A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -3 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix} ์ ๋ํด ๋ค์ ๋ฌผ์์ ๋ตํ์์ค.
(1) A๋ฅผ ๋๊ฐํํ๋ ํ๋ ฌ P๋ฅผ ๊ตฌํ๊ณ ,
๋๊ฐํ๋ ฌ B = P^{-1}AP ๋ฅผ ๊ตฌํ์์ค
(2) ๋ํ๋ ฌ A, B์ ๋ํด ๋ณธ๋ฌธ์ ์ ์๋ 10๊ฐ์ง ๋ฎ์ ๋ถ๋ณ๋์ ๊ฐ๊ฐ ํ์ธํ์์ค ๐จ์ฌ๊ธฐ ํด๋ฆญํด์ ํ์ธ
ํ์ด
(1)-ใฑ ๊ณ ์ณ๊ฐ ๊ตฌํ๊ธฐ
det(\gamma I_3 -A) \\ =det \begin{pmatrix} \gamma & 3 & 3 \\ -1 & \gamma-4 & -1 \\ 1 & 1 & \gamma-2\end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow det = \gamma \begin{vmatrix} \gamma-4 & -1 \\ 1 & \gamma-2 \\ \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & \gamma-2 \\ \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -1 & \gamma-4 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ \Leftrightarrow \gamma(\gamma-3)^2= 0 \\ \rightarrow \gamma = 0 \quad or \quad 3
์ฆ Eigenvalue (\gamma) = 0 \quad or \quad 3
(1)-ใด
\gamma =0 ์ผ ๋
\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & |0 \\ -1 & -4 & -1 & |0 \\ 1 & 1 & -2 & |0 \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
u๋ก ํ๋ ฌ๋ฐฉ์ ์์ ๋ํ๋ด๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค. u_1 -3u_3 = 0 \\ u_2 + u_3 = 0
u_3 ๋ฅผ ๋งค๊ฐ๋ณ์์ธ t๋ก ํํํ๋ ๋๋จธ์ง
u_1, u_2 ๋ ํํ์ด ๊ฐ๋ฅํ๋๋ผ
๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก u = t \begin{vmatrix} 3 \\ -1 \\ 1\end{vmatrix}
์ฆ \gamma =0 ์ผ ๋ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ์ธ u์ ์ฑ๋ถ์
\begin{vmatrix} 3t \\ -t \\ t \end{vmatrix} ๊ฐ ๋๋๋ผ
(1)-ใท
\gamma = 3 ์ผ ๋
\begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 & |0 \\ -1 & -1 & -1 & |0 \\ 1 & 1 & 1 & |0 \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
์ด๋ฒ์๋ s์ r์ด๋ผ๋ free variables๋ฅผ ์ค์ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค
v = s\begin{vmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{vmatrix} + r\begin{vmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{vmatrix}
๋งํฌ โ> ์ free variables ์ค์ ํ๋์ง ๋ชจ๋ฅด๊ฒ ๋ค๋ฉด ์ฌ๊ธฐ ํด๋ฆญ
๋ณด์ํ๋ ์ฒซ๋ฒ์งธ ์ฑ๋ถ(1๋ฒํ)๊ณผ๋ฌ๋ฆฌ 2, 3๋ฒ์งธ ์ฑ๋ถ๋ค์ 0์ด๋ค์.
๊ทธ์ ๋ํด 2๋ฒ์งธ ์ฑ๋ถ์ ๋ํด ๋ณผ ๋, 3๋ฒ์งธ ์ฑ๋ถ = 0
3๋ฒ์งธ ์ฑ๋ถ์ ๋ํด ๋ณผ ๋, 2๋ฒ์งธ ์ฑ๋ถ = 0
์ด๋ฅผ ๋ํ๋ด๋ฉด ์๋์ ๊ฐ์ต๋๋ค.
v = s\begin{vmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} + r\begin{vmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{vmatrix}
์ฌ๊ธฐ์ ๊ณ ์ ๊ธฐ์ ๋ \begin{vmatrix} -s \\ s \\ 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -r \\ 0 \\ r \end{vmatrix} ์ด 2๊ฐ์ ์ฑ๋ถ์ผ๋ก ๋ง๋ค ์ ์๋ ์งํฉ๋ค์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค.
(1)-ใน
P = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} ์ผ ๋
P
= A๋ฅผ ๋๊ฐํํ๋ ํ๋ ฌ
์ฌ๊ธฐ์ P^{-1} ๋ ํ์ํ๋ฐ ๊ฐ์ฐ์ค ์๊ฑฐ๋ฒ์ ํตํด ์งํํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
๋ฐฉ๋ฒ์ Pํ๋ ฌ ํฌ๊ธฐ๋งํผ ์ฐ์ธก์ ๋จ์ํ๋ ฌ์ ์ด์ด์ค๋๋ค
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์ข์ธก ํ๋ ฌ์ ๊ธฐ์ฝํ ์ฌ๋ค๋ฆฌ๊ผด๋ก ๋ง๋ค๋ฉด ๋ฉ๋๋ค
P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 & |1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & |0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & |0 & 0 & 1\end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
์ด๋ ๊ฒ ๋ณด๋ 3ํ์ 1์ด์ด ์ ๋์์๋ผ์ ์ฒซ๋ฒ์งธํ์ผ๋ก ์ฌ๋ฆฌ๊ณ 3ํ์ ์๋๋ก ๋ด๋ ค์จ ํ์
๊ฐ๊ฐ ํ๋ค์ ์ฐ์ฐํด ์๊ฑฐ ํด์ค๋๋ค
\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -4 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \\ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ \Leftrightarrow P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}
์ด์ ๋ณธ์์ ๋์
ํด๋ด
๋๋ค
B = P^{-1}AP
= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 12 & 3 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
(2) ๋งํฌ
A ํ๋ ฌ
, Bํ๋ ฌ
(A๋ฅผ ๋๊ฐํ์ํจ ํ๋ ฌ)
์ ์๋์ ๊ฐ์ด ๊ตฌํ์ต๋๋ค.
A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -3 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad\quad\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
1. ํ๋ ฌ์
Bํ๋ ฌ์ det = 0 ๋์ค๋๊ฒ ๋๋ฌด ์๋ช
ํ๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ฉด Aํ๋ ฌ๋ ๊ณผ์ฐ 0์ด ๋์ฌ๊น?
(Aํ๋ ฌ์ 1์ด ๋ฐฉํฅ์ผ๋ก ๊ณ์ฐํ์)
detA = 0 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \\ \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 4 & 1 \\ \end{vmatrix} = -1(-6-3)-(-3+12) = 0 \\ detB = 0
์ด๋ก์จ ๋๋ค ๊ฐ์ต๋๋ค
2. ๊ฐ์ญ์ฑ
detA = 0, detB = 0
์ฆ ๋๋ค ์ญํ๋ ฌ์ด ์กด์ฌํ์ง ์์ ๋น๊ฐ์ญ์ฑ
3. rank
rankB = 2
Aํ๋ ฌ์ ๊ธฐ์ฝํ์ฌ๋ค๋ฆฌ๊ผด๋ก ๋ณํํ๋ฉด rankA๋ ๊ตฌํ ์ ์์
A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -3 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & -3 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
์ฆ rankA = 2
4. Nullity
nullityA = n-rankA = nullityB
3-2 = 1
5. ๊ณ ์ ๋คํญ์
\gamma(\gamma-3)^2= 0, \quad\quad\quad B =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
Bํ๋ ฌ์ ๋๊ฐ์ฑ๋ถ๊ณผ ์ข์ธก์ ๊ณ ์ ๋คํญ์์ ๋ณด๋ ์๋ก ์ผ์นํฉ๋๋ค
6. ๊ณ ์ณ๊ฐ
\gamma = 0 \quad or \quad 3
7. ๊ณ ์ ๊ธฐ์ ์ฐจ์
\gamma = 0 ์ผ ๋ 1๊ฐ
\gamma = 3 ์ผ ๋ 2๊ฐ
8. ๋๊ฐ์ฑ๋ถํฉ
Aํ๋ ฌ:
tr(A) = 0+4+2 = 6
Bํ๋ ฌ:
tr(B) = 0+3+3 = 6
9. ๋์์ ์ค๋ณต๋
\gamma ์ ๊ณ์
\gamma=0 ์ผ ๋ 1
\gamma=3 ์ผ ๋, 2
10. ๊ธฐํ์ ์ค๋ณต๋
๋ง ๊ทธ๋๋ก ๊ธฐ์ ์ ์์ ๊ฐฏ์
๋งํฌ ์ฐธ์กฐ
5-3 ์์ 3
ํ๋ ฌ M =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 \end{pmatrix} ์ ๋ํ์ฌ ํ๋ ฌ
3M^5-5M^4 ๋ฅผ ์ผ์ผ๋ฆฌ ํด๋ฐํด ์ ๋ฆฌ๋ฅผ ์ด์ฉํด ๊ตฌํ์์ค.
1
2
์ผ์ผ๋ฆฌ ํด๋ฐํด ์ ๋ฆฌ
ํ์ํ๊ฒ: -๊ณ ์ ๋คํญ์-
step 1 ๊ณ ์ ๋คํญ์ ์ฐพ๊ธฐ
f(\gamma) = det(\gamma I_3 -M) \\ det = \begin{pmatrix} \gamma & -1 & 0 \\ 0 & \gamma & -1 \\ -1 & 3 & \gamma-3 \end{pmatrix}
1์ด๋ก det ์ ๋ฆฌํ๋ฉด ๋ ๋ฏ
detM = \gamma \begin{vmatrix} \gamma & -1 \\ 3 & \gamma-3 \\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & \gamma-3 \\ \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ \gamma & -1 \\ \end{vmatrix} \\ \Leftrightarrow \gamma^3-3\gamma^2+3\gamma-1 \\ \Leftrightarrow M^3-3M^2+3M-I_3 = 0
์ด๊ฒ์ M^3 ์ ๋ํด ์ ๋ฆฌํ๋ฉด ์๋์ ๊ฐ์ด ๋ฉ๋๋ค.
M^3 = 3M^2-3M+I_3
step 2 ์์ ๋ณํ ์์ฉ
๋ฐฉ๊ธ ์์ ์์ M์ ๊ณฑํ๋ฉด ์๋์ฒ๋ผ ๋ฉ๋๋ค.
M^4 = 3M^3 - 3M^2 + M
์ด ์์์ M^3 ์ ๋ํด ๊ณ์ฐํ ๊ฒ์ ๋์
ํ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค
๊ณ์ฐํ๋ฉด ์ด๋ ๊ฒ ์ ๋ฆฌ๊ฐ ๊ฐ๋ฅํฉ๋๋ค
M^4 = 3(3M^2 - 3M + I_3) -3M^2 + M \\ \Leftrightarrow M^4 = 6M^2 -8M +3 I_3 \\ M^5 = MM^4 = M(6M^2 -8M +3 I_3)
\color{red}{\Rightarrow} (6M^3 -8M^2 +3M)
์ด ์์ ์๊น๊ตฌํ๋ M^3 ์ ๋ํ ์์์ ๋์
ํ๋ฉด ๋ฉ๋๋ค
M^5 = 6(3M^2-3M+I_3) - 8M^2 + 3M \\ \Leftrightarrow M^5 = 10M^2 - 15M + 6I_3
์ด๋ก์จ M^5 \quad M^4 ๋ฅผ ๋๋ค ๊ตฌํ์ผ๋ ์ด์ ๋ฌธ์ ์ ๋ง์ถฐ ๊ฐ๊ฐ ๋ณํ์ํต์๋ค
\Leftrightarrow 3M^5-5M^4 \\3(10M^2 - 15M + 6I_3) \quad - \quad 5(6M^2 -8M +3 I_3) \\ \Leftrightarrow -5M + 3I_3
๊ฒฐ๊ณผ
์ค์: -5M + 3I_3 = \begin{pmatrix} 3 & -5 & 0 \\ 0 & 3 & -5 \\ -5 & 15 & -12 \end{pmatrix}
์ฐธ๊ณ
- [์ ํ๋์ํ] 5๊ฐ. ๊ณ ์ณ๊ฐ๊ณผ ๋๊ฐํ
- ํํํ์ [์ ๋] 5-2๊ฐ. ๊ณ ์ณ๊ฐ ๋ถํด (Eigendecomposition) ์ ๋ชจ๋ ๊ฒ!
- [์ฅํฉ์ํ] ๊ณ ์ ์น ๋ฐ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ
- [์ฅํฉ์ํ] ๊ณ ์ ์น ๋ฐ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ์ ์ฑ์ง
- [์ฅํฉ์ํ] ๋ฎ์ ๋ฐ ๋๊ฐํ ํ๋ ฌ
- [๊ณต๋์ด์ ์ํ์ ๋ฆฌ๋ ธํธ (Angeloโs Math Notes)] ๊ณ ์ณ๊ฐ๊ณผ ๊ณ ์ ๋ฒกํฐ