[선형대수학] 6강. 복소벡터공간

Posted Apr 6, 2024

By 고준환 J.K

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<목차>

0. 들어가며

1. 복소벡터공간
 1-1 정의
 1-2 복소켤레(complex conjugate)
 1-3 대수적 성질
 
2. 복소내적공간
 2-1 정의
 2-2 성질
 
3. 복소고윳값과 복소고유벡터

4. 용어 정리
 4-1 켤레 전치행렬(에르미트 전치행렬)
 4-2 에르미트행렬(Hermitian matrix )
 4-3 유니터리행렬(Unitary matrix)
 4-4 정규행렬(Normal matrix)

5. 유니터리 대각화(unitary diagonalization)

0. 들어가며

6강 전까지는 실수 벡터공간에 관한 내용이었으며,
이번에는 조금 더 상위 개념인 복소벡터공간에 대해 학습하는 시간을 가져보겠습니다.

1. 복소벡터공간

🔍요약

$C^n$이 실수를 스칼라배하는 벡터공간이라면 차원은 2n
$ \color{pink}{\Rightarrow} $ 보통 기저는 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}$

$C^n$이 복소수를 스칼라배하는 벡터공간이라면 차원은 n
$ \color{pink}{\Rightarrow} $ 보통 기저는 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

1-1 정의

쉽게 얘기하여 스칼라가 복소수인 벡터공간
모든 복소 n-튜플 $(v_1, v_2, ..., v_n)$ 의 집합을 복소 n-공간이라 하고,
$c^n$ (n차원 복소벡터공간)으로 표시한다.

1-2 복소켤레(complex conjugate)

복소켤레는 실수부($Re(v)$)와 허수부($iIm(v)$)로 나뉜다.

$C^n$ 의 임의의 벡터
$v = (v_1, v_2, ..., v_n) \\ =(a_1 + b_1i,\quad a_2+b_2i, ... a_n+b_ni) \\ = (a_1, ..., a_n) +i(b_1, ..., b_n) \\ =Re(v) + iIm(v)$
에 대하여

v의 복소켤레 $(\bar v)$
$\bar v = (\bar v_1, \bar v_2, ..., \bar v_n) \\ =Re(v)- iIm(v)$
즉 복소켤레는 실수부-허수부 (실수부에서 허수부 뺀 것)

예제(2개)

ex-1) $v=(1+i,\quad -i,\quad 3,\quad 3i)$ 에 대하여
$Re(v), \quad Im(v), \quad \bar v$ 를 각각 구하시오

$Re(v)$ = (1, 0, 3, 0)
$Im(v) =$ (1, -1, 0, 3)
$\bar v = Re(v) - iLm(v) \\ = (1-i, \quad i, \quad 3, \quad -3i)$

ex-2) $A = \begin{pmatrix} 1-i & 2i \\ -1 & 3+2i \end{pmatrix}$ 에 대하여
$\bar A, \quad det(\bar A)$ 를 각각 구하시오

$\bar A = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ -1 & 3-2i \end{pmatrix} \\ det(\bar A) =(3-2i+3i+2)-(2i) \\ = 5-i$

1-3 대수적 성질

$C^n$ 의 벡터 u, v와 스칼라 k에 대해

1) $\bar{\bar{u}} = u$
2) $\bar{ku} = \bar k \bar u$
3) $(\overline{u \pm v}) = \bar u \pm \bar v$ (복부호 동순)

mxk 행렬 A와 kxn 행렬 B에 대해

1) $\bar{\bar{A}} = A$
2) $\overline {(A^T)} = (\bar A)^T$
3) $\overline {AB} = \bar A \bar B$

😀증명 $\overline {AB} = \bar A \bar B$

$A = \begin{pmatrix} 1-i & 2i \\ -1 & 3+2i \end{pmatrix} \quad\quad B = \begin{pmatrix} i & 1-i \\ 0 & -1 \end{pmatrix}일 때 \\ \bar A = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ -1 & 3-2i \end{pmatrix}, \bar B = \begin{pmatrix} -i & 1+i \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ AB = \begin{pmatrix} i+1 & -2i-2i \\ -i & -1+i-3-2i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+i & -4i \\ -i & -4-i \end{pmatrix} \\ AB \quad 전체에 \quad 켤레를 \quad 씌우면 \rightarrow \overline {AB} \\ \bar A \bar B = \begin{pmatrix} -i+1 & 2i+2i \\ i & -1-i-3+2i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-i & 4i \\ i & -4+i \end{pmatrix}$

이렇게 보니 AB에 켤레를 씌우면 $\overline {AB}$ 가 되는데 이는 $\bar A \bar B$ 랑 결과가 같아지는게 보인다

2. 복소내적공간

2-1 개념

참고
깃허브 markdown에서 $\cdot$에 색깔을 입힐 수 없어 *로 대체합니다
*→ 스칼라배
* → 점곱(dot product)

복소벡터공간 ( $V, C, +,$ *)의 두 벡터
$u = (u_1, u_2, ... u_n), \quad v=(v_1, v_2, ..., v_n)$
의 내적 <u, v>: V x V → C 은
$<u,v> = u$*$v = u_1 \bar v_1 + u_2 \bar v_2 + ... + u_n \bar v_n$ 로 정의한다.
또한 내적이 정의되어 있는 복소벡터공간을 복소내적공간이라 한다

빠른 이해

$v = (1, i)\\ ||v|| = \sqrt{v \cdot \bar v} = \sqrt{(1,i) \cdot (1,-i)} = \sqrt{1+1} \\ = \sqrt 2$

복소평면으로 복소벡터$\begin{bmatrix}1 \\ -i\end{bmatrix}$를 표현하면

$Desktop View$
위의 2차원 복소평면좌표 그래프를 봤을 때 Norm을 기하적으로 해석하면
분홍색 벡터(분홍색 화살표)의 길이, 정확하게 $\sqrt 2$가 나와서
Norm의 연산이 n차원의 복소평면에서도 부드럽게 정의가 된다고 볼 수 있다.

2-2 성질

복소내적공간의 세백터 u, v, w와 스칼라 k에 대해 다음 내적결과에 대한 4가지 성질이 만족한다.

<u, v> = $\overline {<v, u>}$
$<u+v, w> = <u,w> + <v,w> \\ <u, v+w> = <u,v> + <u,w>$
$<ku, v> = k<u,v> \\ <u, kv> = \bar k< u,v>$
$v \neq \vec{0}$

일 때 <v, v> >0

4번 증명

$v=(a_1+b_1i, \quad a_2+b_2i, ... , a_n=b_ni) \neq 0 \\ v \cdot v = (\quad\quad) \cdot(a_1-b_1i, \quad a_2-b_2i, .., a_n-b_ni) \\ = ({a_1}^2 + {b_1}^2) + ({a_2}^2 + {b_2}^2)+...+({a_n}^2 + {b_n}^2) > 0$
즉 확인하니 0보다 크다는건 자명하겠더라

3. 복소고윳값과 복소고유벡터

3-1 정의

복소정사각행렬 A에 대하여 고유방정식 $det(\gamma I-A)=0$ 의 복소해 $\gamma$를 A의 복소고윳값 이라 한다
또한 $Av = \gamma v$ 를 만족시키는 모든 벡터 v의 집합을 A의 고유공간,
고유공간의 0벡터가 아닌 벡터를 A의 복소고유벡터 라고 한다.

ex) $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$

$det(\gamma I_2 -A) = det \begin{pmatrix} \gamma-2 & -1 \\ 5 & \gamma+2 \end{pmatrix} \\ \gamma^2+1= 0 \\ \rightarrow \gamma = \pm i$

$\gamma =i$ 일 때
$\begin{pmatrix} i-2 & -1 & |0 \\ 5 & i+2 & |0 \end{pmatrix} \rightarrow$ 실수화를 위해 1행에 (i+2) 곱함 $\begin{pmatrix} -1-4 & -i-2 & 0 \\ 5 & i+2 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & \frac{i+2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
여기서 2번째 행인 $v_2 = (0, 0, 0)$ 를 1, 즉 t로 변경하고 v의 해공간은 아래와 같아진다

$v = t \begin{bmatrix} -\frac{i+2}{5} \\ 1\end{bmatrix}$

즉 고유공간의 기저 = $\left\{ \left( -\frac{i+2}{5}, \quad 1 \right) \right\}$
고유벡터 $\left\{ \left( -\frac{i+2}{5}t, \quad t \right) \right\} \quad (t \neq0)$

$\gamma =-i$ 일때 이건 생략

3-2 정리

$\gamma$ 가 실 정사각행렬 A의 고윳값이고 v는 이에 대응하는 고유벡터면,
$\bar \gamma$ 또한 A의 고유값이며 $\bar v$ 는 이에 대응하는 고유벡터다

😀증명

$Av = \gamma v \\ \leftrightarrow \overline {Av} = \bar \gamma \bar v \\ \leftrightarrow A \bar v = \bar \gamma \bar v \\ v \neq \vec{0} \rightarrow \bar {v} \neq \vec{0}$
$\color{pink}{\downarrow}$
$\color{pink}{\downarrow}$
$\gamma= 1+i\\ \bar \gamma = 1-i$

4. 용어정리

4-1 켤레 전치행렬(에르미트 전치행렬)

$A^H$ 라고도 하며 복소행렬 A의 전치행렬을 구한 후에, 각 성분을 켤레인 복소수로 바꾼 행렬
영어 표기는 conjugate transpose matrix or Hermitian transpose matrix

특징

복소 스칼라 k와 mxr행렬 A, rxn행렬 B에 대해 다음 4가지 특징이 성립한다
1) $(A^H)^H = A$
2) $(A \pm B)^H = A^H \pm B^H$ (복부호 동순)
3) $(KA)^H = \bar kA^H$
4) $(AB)^H = B^HA^H$

🎲4)번 증명

$ex)$ $A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1-i & -1 \end{pmatrix} \quad\quad B = \begin{pmatrix} 1+i & -1 \\ -i & 2 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 2+i & -1+2i \\ 2+i & -3+i \end{pmatrix} \\ \therefore (AB)^H = \begin{pmatrix} 2-i & 2-i \\ -1-2i & -3-i \end{pmatrix}$
$B^HA^H = \begin{pmatrix} 1-i & i \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1+i \\ -i & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-i & 2-i \\ -1-2i & -3-i \end{pmatrix}$

즉 $(AB)^H = (BA)^H$ 성립한다

4-2 에르미트행렬(Hermitian matrix )

행렬 A가 있다고 가정할 때,
$A = A^H$ 가 성립하는 복소정사각행렬

4-3 유니터리행렬(Unitary matrix)

복소행렬들을 다룰 때 주로 쓰인다
특징으로 복소정사각행렬 A의 역행렬 $A^{-1}$ 에 대하여 $A^{-1} = A^{H}$ 가 성립하는 행렬 A

4-4 정규행렬(Normal matrix)

유니터리 대각화에 사용되고 아래와 같은 조건을 만족한다
$AA^{H} = A^{H}A$ 가 성립하는 복소정사각행렬 A
ex) 에르미트행렬, 유니터리행렬

5. 유니터리 대각화(unitary diagonalization)

유니터리 대각화 가능한 행렬은 정규행렬이며, 그 역도 성립한다.
즉 정규행렬은 유니터리 대각화가 가능하다
$P^{H}AP = D$

# 참고
A: 복소정사각행렬
P: A를 유니터리 대각화하는 유니터리행렬
D: 복소대각행렬

여기서 활용해볼 것 $P^{-1} = P^{H}$

🧔‍♂️에르미트행렬A의 유니터리 대각화과정

step1:
A의 모든 고유공간의 기저를 구한다

step2:
고유공간의 정규직교기저를 구한다

step3:
기저벡터를 열벡터로 하는 행렬 P는
유니터리행렬이고, A를 대각화한다

ex) $A =\begin{pmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 0 \end{pmatrix}$을 대각화하자

1. 고윳값 구하기

$det(\gamma I_2-A) = det \begin{pmatrix} \gamma-1 & -1-i \\ -1+i & \gamma \end{pmatrix} \\ = \gamma^2-\gamma-2 = 0 \\ = (\gamma-2)(\gamma+1) = 0 \\ \gamma = -1 \quad or \quad 2$

2. $\gamma = -1$일 때

2번째 행에 (-1-i) 곱해주어 gaussian elimination 한 후 1번행에서 $-\frac{1}{2}$ 곱해주자 $\begin{pmatrix} -2 & -1-i & 0 \\ -1+i & -1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & \frac{1+i}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
즉 $\gamma = -1$ 일때의 고유벡터는 $v = \begin{pmatrix} -\frac{1+i}{2}t & t \end{pmatrix} \quad\quad (t \neq 0)$
여기에 보기 좋게 t=2 대입하여 기저를 보기 쉽게(1+i, -2)로 변환합니다

3. $\gamma = 2$일 때

2행에 (-1-i) 곱해주면 1행과 2행은 같아져 2행 소거합니다.
그리고 보기좋게 t=1 대입합니다.
$\begin{pmatrix} 1 & -1-i & 0 \\ -1+i & 2 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1-i & 0 \\ 2 & -2-2i & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1-i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ v = \left( (1+i)t, \quad t \right) \\ =기저 \left( 1+i, \quad 1 \right)$

4. 정규직교기저

원래라면 1~3의 과정에서 구한 기저들로 직교화가 되도록 임의로 설정해줘야 한다.
근데 여기서는 $\gamma=-1$ 일때랑 $\gamma=2$ 일때는 각각 기저1개라 직교를 고려하지 않아도 된다.
왜냐하면 직교를 고려하려면 기저가 아래의 예시처럼 되야한다
$v = t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

그리하여 여기서는 정규화만 시키겠다
(정규화: 벡터의 norm을 1로 맞추는 것이다)

아까 $\gamma=-1$ 일때랑 $\gamma=2$ 일때 구한 기저들을 $v_1$, $v_2$라 하겠다
(너무 당연한 사실이지만 복소수벡터를 norm연산할때 켤레를 취해줘야한다.)

정규화

$||v_1|| = \sqrt{(1+i, \quad -2) \cdot (1-i, \quad -2)} \\ = \sqrt{1+1+4} \rightarrow \sqrt 6 \\ \therefore \left( \frac{1+i}{\sqrt 6}, \quad -\frac{2}{\sqrt 6} \right)$

$||v_2|| = \sqrt{(1+i, \quad 1) \cdot (1-i, \quad 1)} \\ = \sqrt{2+1} \rightarrow \sqrt 3 \\ \therefore \left( \frac{1+i}{\sqrt 3}, \quad \frac{1}{\sqrt 3} \right)$

5. 유니터리행렬 대각화

아까 구한 normalized $v_1$과 $v_2$를 전치시켜 P(유니터리행렬)을 만들자
$P = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{\sqrt 6} & \frac{1+i}{\sqrt 3} \\ -\frac{2}{\sqrt 6} & \frac{1}{\sqrt 3} \end{pmatrix} \\ P^H = \begin{pmatrix} \frac{1-i}{\sqrt 6} & -\frac{2}{\sqrt 6} \\ \frac{1-i}{\sqrt 3} & \frac{1}{\sqrt 3} \end{pmatrix} \\ D = P^HAP = \begin{pmatrix} \frac{1-i-2+2i}{\sqrt 6} & \frac{1+1}{\sqrt 6} \\ \frac{1-i+1-i}{\sqrt 3} & \frac{1+1}{\sqrt 3} \end{pmatrix} \cdot P \\ = \begin{pmatrix} \frac{-1+i}{\sqrt 6} & \frac{2}{\sqrt 6} \\ \frac{2-2i}{\sqrt 3} & \frac{2}{\sqrt 3} \end{pmatrix} \cdot P = \begin{pmatrix} \frac{-1-1-4}{6} & \frac{-1-1+2}{\sqrt 18} \\ \frac{2(1+1)-4} {\sqrt 18} & \frac{2(1+1)+2}{3} \end{pmatrix} \\ \therefore D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

이렇게 대각행렬 D를 도출했으며,
전체 과정을 요약하면 A라는 Hermitian matrix의 unitary diagonalization을 통해
D라는 diagonal matrix를 볼 수 있었다.
정확하게 말하자면 D를 복소대각행렬(complex diagonal matrix)이라고 할 수 있겠다.

참고

math, linear-algebra

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